A qui s'adresse cet article ?
Vous avez déjà joué à Risk, c'est un jeu que vous aimez. Vous voulez savoir quelle est la meilleure stratégie de de lancer de dés. Cet article est fait pour vous.
Rappel des règles
Nous ne rentrerons pas dans le détail des règles de Risk. A chaque tour, il y a un attaquant et un défenseur. Cette attaque peut être vu comme un jeu à part entière.Chaque joueur possède un certain nombre d'armées. Le joueur attaquant (que nous nommerons A) lance 3 dés. Au vu du lancer de A, le joueur défenseur (que nous nommerons D) peut défendre à 1 ou 2 dés.
- Si D joue à un seul dé:
On compare le meilleur dé de A avec celui de D. Le plus petit perd une armée. En cas d'égalité, c'est A qui perd une armée.
Il y a donc deux cas possibles, A perd une seule armée, D perd une seule armée. - Si D joue à 2 dés:
On compare le meilleur dé de A avec le meilleur dé de D. Le plus petit perd une armée. En cas d'égalité, c'est A qui perd une armée. On compare le second meilleur dé de A avec le second dé de D. Le plus petit perd une armée. En cas d'égalité, c'est A qui perd une armée.
Il y a donc trois cas possibles, A et D perdent une armée chacun, A perd deux armées, D perd 2 armées.
A cela s'ajoute deux autres règles que les connaisseurs me reprochent déjà de ne pas prendre en compte. Mais la question n'est pas là.
Que voulons nous savoir ?
Dans cet article, nous répondons aux questions suivantes :- A a l'avantage de lancer trois dés, B ne joue qu'à 2 dés mais a l'avantage de gagner en cas d'égalité. De ces deux avantages, lequel est le plus grand ? Autrement dit, qui fait essuyer le plus de perte à l'autre ?
- B a le privilège de pouvoir défendre à un ou deux dés. Que vaut-il mieux pour lui en fonction du lancer de A ?
Méthodologie
Pour répondre à ces questions, nous utilisons la simulation informatique. D'ailleurs, vous pourrez la lancer vous même car elle est intégrée à ce document.Nous simulons un grand nombre de lancer de A et de D et nous regardons le résultat, suivant les règles énoncées ci-dessus. Par la suite nous donnons les résultats sous la forme suivante:
Sur 100 parties, il y a ... Les usagers des probabilités n'auront qu'une division élémentaire à faire.
A propos de probabilité, il existe une solution mathématique à nos questions, je n'ai pas encore pris le temps de la trouver. Si vous en avez une à me proposer, je suis preneur !
Réponse à la première question
Nous rappelons la question :A a l'avantage de B de lancer trois dés, B ne joue qu'à 2 dés mais a l'avantage de gagner en cas d'égalité. De ces deux avantages, lequel est le plus grand ? Autrement dit, qui fait essuyer le plus de perte à l'autre ?
Résultat de la simulation
Sur 100 parties, il y a :- 38 parties où le défenseur perd deux armées
- 33 parties où A et D perdent une armée chacun
- 29 parties où l'attaquant perd deux armées
Prenons un cas concret. A et D ont 200 armées chacun. Ils jouent 100 fois. Il reste à la fin :
- 200-38*2-33 = 91 armées au défenseur.
- 200-29*2-33 = 109 armées à l'attaquant.
Attention, il ne faut pas voir les 200 armées comme se jouant en une seule fois, ce qui est quasiment impossible à Risk, mais comme la somme de toutes les armées étant engagées durant la partie.
Réponse à la deuxième question
Nous rappelons la question :B a le privilège de pouvoir défendre à un ou deux dés. Que vaut-il mieux pour lui en fonction du lancer de A ?
Avant de lancer la simulation, commençons par réfléchir. En effet, il y a deux réponses évidentes que la simulation validera (ou pas).
- Si l'on veut que A essuie le plus de pertes, il faut toujours défendre à 2 dés.
- Si l'on veut minimiser les pertes de D, il faut toujours défendre à 1 dé, sauf si le deuxième meilleur lancer de A est 1 (dans ce cas, non seulement D est sûr que A perdra au moins 1 armée et en plus il augmente ses chances de faire mieux que le meilleur lancer de A).
Les stratégies que nous étudierons sont de la forme:
D joue à un dé si A a fait au moins N à ses deux meilleurs lancers. Sinon D joue à deux dés.
Mettons nous à la place de D:
Je regarde le lancer de A, si son deuxième meilleur score est inférieur ou égal a N je joue à 2 dés sinon je joue à un dé.
Résultat de la simulation
La simulation confirme nos deux hypothèses ci-dessus. Le maximum de perte pour l'attaquant est atteint quand D systématiquement à 2 dés. Le minimum de perte pour le défenseur est atteint quand D défend toujours à 1 dé, sauf si le deuxième meilleur lancer de A est 1.De plus nous avons la réponse à notre deuxième question. La stratégie optimale pour le défenseur est de jouer à 2 dés si les deux meilleurs lancers de A sont inférieur à 4, sinon de jouer à 1 dé. Dans ce cas, l'attaque et la défense sont à égalité.
Reprenons notre cas concret. A et D ont 200 armées chacun. Ils jouent 100 fois. D joue avec la stratégie optimale. Il reste à la fin :
- 125 armées au défenseur.
- 125 armées à l'attaquant.
- Comme le défenseur défend regulièrement à 1 dé, il y a moins de perte. C'est pourquoi A et D finissent avec plus d'armées que dans le premier exemple.
- Les pertes ne sont pas symétriques. Sur 100 parties, il y a :
- 10 parties où D perd deux armées
- 37 parties où D perd une armée
- 18 parties où D et A perdent une armée chacun
- 12 parties où A perd une armée
- 23 parties où A perd deux armées
Conclusion
Nous savons maintenant, grâce à l'informatique, que Risk est un jeu défavorable au joueur défenseur s'il ne choisit pas la bonne stratégie. Toutefois, nous avons montré qu'il existe une stratégie qui met les deux joueurs sur un pied d'égalité. Etait ce voulu de la part des créateurs du jeu ? Ou serait ce plutôt une surprise comme les mathématiques savent bien le faire...Martin Monperrus
avril 2005
N.B: Si vous le souhaitez, vous pouvez lancer votre propre simulation en cliquant sur le bouton "Lancer la simulation" ci dessous. Vous pouvez y paramétrer le nombre de parties jouées. Par contre, les résultats que vous trouverez seront sûrement légèrement différents de ceux annoncés dans l'article. C'est normal, c'est parce que c'est une simulation aléatoire. Il faudrait faire un nombre infini de lancers pour avoir exactement les mêmes résultats.
Bon voyage dans les chiffres ! Bonne reflexion dans l'interpretation de ces chiffres !